В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

   Решение

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

Решение

  Длина общей касательной к данным окружностям равна    поэтому     то есть     Согласно задаче 57619 б)  
  Поэтому существует угол γ₁, для которого  
  Мы проверили, что треугольник со сторонами a₁, b₁, c₁ действительно существует; кроме того, угол между сторонами a₁ и b₁ равен γ₁. Диаметр описанной окружности этого треугольника равен     поскольку   c = p – r ctg ^γ/₂.

Источники и прецеденты использования