Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет л и л с точностью до 1 миллилитра.

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

Решение

Так как ADC — вписанный и опирается на диаметр окружности, то ADC = 90^o, значит, BDC — прямоугольный. KD = KC, так как они являются отрезками касательных к окружности, проведенными из одной точки (см. рис.). DCK = CDK = , тогда, DВC = 90⁰ - DCK = 90⁰ - ; KDВ = 90⁰ - CDK = 90⁰ - , следовательно, KD = KB. Таким образом, KС = KB, то есть, K — середина ВС.

Равенство углов DВC и KDВ можно также доказать, используя равенство других углов: DАC = KDС ( DАC —вписанный, опирающийся на дугу DС, а KDС — между касательной и хордой, стягивающей эту же дугу).

Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования