Информация о задаче

Задача 57598

Тема:

[

Теорема косинусов

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Окружности радиусов t_a, t_b, t_c касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, C и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что

t_a = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$ , t_b = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$ , t_c = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$ .

Решение

Пусть O — центр описанной окружности. Применив теорему косинусов к треугольнику AOB, получим cos 2 $\gamma$ = 1 - ${\frac{c^2}{2R^2}}$ . Если окружности радиусов t_a и t_b касаются внутренним образом описанной окружности в вершинах A и B и касаются друг друга внешним образом, то по теореме косинусов

(R - t_a)² + (R - t_b)² - 2(R - t_a)(R - t_b) $\displaystyle \left(\vphantom{1-\frac{c^2}{2R^2}}\right.$ 1 - $\displaystyle {\frac{c^2}{2R^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1-\frac{c^2}{2R^2}}\right)$ = (t_a + t_b)²,

поэтому

$\displaystyle {\frac{c^2}{2R^2}}$	= 1 - $\displaystyle {\frac{(R-t_a)^2+(R-t_b)^2-(t_a+t_b)^2}{2(R-t_a)(R-t_b)}}$ =
	= $\displaystyle {\frac{(t_a+t_b)^2-(t_a-t_b)^2}{2(R-t_a)(R-t_b)}}$ = $\displaystyle {\frac{4t_at_b}{2(R-t_a)(R-t_b)}}$ ,

т.е. c² = ${\frac{4t_at_bR^2}{(R-t_a)(R-t_b)}}$ . Аналогично a² = ${\frac{4t_bt_cR^2}{(R-t_b)(R-t_c)}}$ и b² = ${\frac{4t_at_cR^2}{(R-t_a)(R-t_c)}}$ . Следовательно, ${\frac{b^2c^2}{a^2}}$ = ${\frac{4t_a^2R^2}{(R-t_a)^2}}$ . Поэтому ${\frac{ta}{R-t_a}}$ = ${\frac{bc}{2Ra}}$ , а значит,

t_a	= $\displaystyle {\frac{Rbc}{2Ra+bc}}$ = $\displaystyle {\frac{Rabc}{2Ra^2+abc}}$ = $\displaystyle {\frac{4R^2S}{2Ra^2+4RS}}$ =
	= $\displaystyle {\frac{2RS}{a^2+2S}}$ = $\displaystyle {\frac{Rah_a}{a^2+ah_a}}$ = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	2
Название	Теорема косинусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.016B