Докажите, что хорды, удалённые от центра окружности на равные расстояния, равны.

   Решение

Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

Решение

Сделаем инверсию с центром C, при которой прямая AB переходит в окружность S', проходящую через точку пересечения окружностей S_A и S_B (отличную от точки C). При такой инверсии окружности S_A и S_B переходят в прямые, проходящие через центр O окружности S' (рис.). Ясно, что окружность S^* касается окружности S' в середине дуги A^*B^*.

Источники и прецеденты использования