Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

   Решение

Сумма пяти неотрицательных чисел равна единице.
Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше ⅕.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

  Рассматриваются решения уравнения  ¹/_x + ¹/_y = ¹/_p  (p > 1),  где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх  ((a, b)  и  (b, a) – различные решения, если  a ≠ b).

Решение

Запишем уравнение в виде  px + py = xy,  или  (х – р)(у – р) = р².  При простом р отсюда следует, что  x – р = 1,  у – р = р²,  или  х – р = р,  у – р = р, или
х – р = р²,  у – р = 1.  Если же р составное, то р² раскладывается на множители и другими способами.

Источники и прецеденты использования