В маленьком городе только одна трамвайная линия. Она кольцевая, и трамваи ходят по ней в обоих направлениях. На кольце есть остановки Цирк, Парк и Зоопарк. От Парка до Зоопарка путь на трамвае через Цирк втрое длиннее, чем не через Цирк. От Цирка до Зоопарка путь через Парк вдвое короче, чем не через Парк. Какой путь от Парка до Цирка – через Зоопарк или не через Зоопарк – короче и во сколько раз?

   Решение

Дан треугольник ABC. В нём R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, a – длина наибольшей стороны, h – длина наименьшей высоты. Докажите, что  ^R/_r > ^a/_h.

   Решение

Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что  y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь ^a/_x?

Решение

  Оценка. Первый способ.  y² = a²x² – a² + 1 < (ax)²,  значит,  y < ax.  Но y и ax – целые числа, поэтому  y ≤ ax – 1.  Следовательно,
a²x² – a² + 1 = y² ≤ (ax – 1)² = a²x² – 2ax + 1.  Стало быть,  2ax ≤ a², то есть  ^a/_x ≥ 2.
  Второй способ.  (ax – y)(ax + y) = a²x² – y² = a² – 1.  Числа  a² – 1  и  ax + y  положительны, поэтому число  k = ax – y  также положительно (и натурально). Следовательно,     Отсюда    поскольку  1 ≤ k ≤ a² – 1.  Итак,  2ax ≤ a²,  то есть  ^a/_x ≥ 2.

  Оценка достигается при  x > 100,  a = 2x,  y = ax – 1 = 2x² – 1.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования