Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырех треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?

   Решение

Тема:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  4S AM ^. BC + BM ^. AC + CM ^. AB, где S — площадь треугольника ABC.

Решение

Опустим из точек B и C перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую AM. Тогда  2S_AMB + 2S_AMC = AM ^. BB₁ + AM ^. CC₁ AM ^. BC, так как  BB₁ + CC₁ BC. Аналогично  2S_BMC + 2S_BMA BM ^. AC и  2S_CMA + 2S_CMB CM ^. AB. Складывая эти неравенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования