Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

   Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

Темы:    [ Инварианты ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Набор чисел a, b, c каждую секунду заменяется на a + b − c, b + c − a, c + a − b. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.

Решение

Инвариантом служит сумма чисел. Действительно,
(a + b − c) + (b + c − a) + (c + a − b) = a + b + c.
Сколько бы раз не менялись наборы чисел, из первоначального получить указанный набор нельзя, т.к. их суммы отличаются на 1.

Источники и прецеденты использования