Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_N  (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM₀, через секунду – OM₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM₂, ещё через три секунды после этого – OM₃, и т. д., ещё через  N – 1  секунду после ОМ_N–2  – OM_N–1.
  При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
  а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
  б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся степенями двойки?

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Решение

  Оценка. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и
50 – x  рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны  50 – x  иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна, в таблице стоит хотя бы  x² + (50 – x)² = 2(x – 25)² + 2·25² ≥ 2·25² = 1250  иррациональных чисел. Значит, рациональных чисел не более  2500 – 1250 = 1250.
  Пример, когда рациональных чисел в таблице ровно 1250. Поставим вдоль левой стороны стоят числа  1, 2, ..., 24, 25,    а вдоль верхней – числа  26, 27, ..., 49, 50,    Тогда иррациональными будут только  2·25² = 1250  сумм рационального и иррационального чисел.

Ответ

1250 сумм.

Замечания

Ср. с задачей 66022.

Источники и прецеденты использования