Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

   Решение

На окружности даны четыре точки A, B, C, D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через A₁, B₁, C₁, D₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Решение

  Общий член исходной последовательности имеет вид:  a_n = (10³ + n)² = 10⁶ + 2n·10³ + n²  (а₀ – первый член).
  Обозначим общий член полученной последовательности через b_n, тогда  .
  Следовательно, разность между соседними членами новой последовательности будет равна 20 до тех пор, пока  ,  то есть если  n² < 100.  Учитывая, что n – натуральное или ноль, получим:  0 ≤ n ≤ 9.  Значит, арифметическую прогрессию образуют 10 первых членов новой последовательности.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования