Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны два различных приведённых кубических многочлена F(x) и G(x). Выписали все корни уравнений  F(x) = 0,  G(x) = 0,  F(x) = G(x). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(x).

   Решение

---

Известно, что  а > 1.  Обязательно ли имеет место равенство   = ?

   Решение

---

Существует ли такая функция  f(x), определённая для всех действительных чисел, что  f(sin x) + f(cos x) = sin x?

   Решение

---

Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству  (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0  хотя бы при одном значении a из отрезка  [–1, 2].

   Решение

---

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0,  то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

   Решение

---

В треугольнике ABC высота и медиана, проведённые из вершины A, образуют (вместе с прямой BC) треугольник, в котором биссектриса угла A является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины B, образуют (вместе с прямой AC) треугольник, в котором биссектриса угла B является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61305

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Итерации ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A₀(x₀,f(x₀)), A₁(x₁,f(x₁)),..., A_n(x_n,f(x_n)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B₀(x₀,x₀), B₁(x₁,x₁),..., B_n(x_n,x_n),... Ломаная B₀A₀B₁A₁... B_nA_n... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
б) f (x) = ,    x₀ = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x₀ = 0, x₀ = 1, 125;
г) f (x) = - + 6,     x₀ = ;
д) f (x) = x² + 3x - 3,    x₀ = 1, x₀ = 0, 99, x₀ = 1, 01;
е) f (x) = ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
ж) f (x) = - + + 3,     x₀ = 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64568

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65001

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65620

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116589

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Последовательность чисел  a₁, a₂, ...  задана условиями  a₁ = 1,  a₂ = 143  и     при всех  n ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями