Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть при инверсии с центром O точка A переходит в A', а точка B – в B'. Докажите, что треугольники OAB и OB'A' подобны.

   Решение

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Площадь треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Из задачи 78539 следует, что точка I лежит на окружности с диаметром AO, то есть на Ω.
  По условию периметр треугольника ABC равен 3BC. Поэтому удвоенная площадь треугольника ABC равна  3r·BC  (r – радиус вписанной окружности). Следовательно,  r = ^h/₃,  где h – длина высоты, опущенной на сторону BC. Значит, прямая l, проведённая параллельно BC через точку пересечения медиан (центр тяжести) треугольника ABC, проходит через точку I.
  Из равенства вписанных углов В'AI и C'AI следует равенство хорд В'I и C'I. Значит, точка I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку В'C', то есть прямая l касается окружности Ω в точке I.

Источники и прецеденты использования