Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

   Решение

Тема:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

  На автобусе ездил Андрей
  На кружок и обратно домой,
  Заплатив 115 рублей,
  Покупал он себе проездной.
  В январе он его не достал,
  И поэтому несколько дней
  У шофёра билет покупал
  Он себе за 15 рублей.
  А в иной день кондуктор с него
  Брал 11 только рублей.
  Возвращаясь с кружка своего
  Всякий раз шёл пешком наш Андрей.
  За январь сколько денег ушло,
  Посчитал бережливый Андрей:
  С удивлением он получил
  Аккурат 115 рублей!
  Сосчитайте теперь поскорей,
  Сколько раз был кружок в январе?

Решение

Количество рублей, потраченных Андреем в те дни, когда он покупал билет у шофёра, делится на 5; на 5 делится и общее количество потраченных им в январе рублей. Значит, и в другие дни общее количество потраченных денег делилось на 5. Поэтому, количество дней, когда Андрей покупал билет у кондуктора, делится на 5. Числа 0 и 10 не годятся; числа, большие 10, – тем более, поэтому единственный возможный вариант – 5 дней. Тогда остальных дней  (115 – 11·5) : 15 = 4,  а кружок был 9 раз.

Ответ

9 раз.

Источники и прецеденты использования