В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

   Решение

Темы:    [ Гомотетия и поворотная гомотетия ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.

Подсказка

Этот образ можно поместить даже в треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах исходного многоугольника.

Решение

  Рассмотрим треугольник ABC наибольшей площади из всех треугольников с вершинами в вершинах исходного многоугольника. Проведя через вершины этого треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам, получим «удвоенный» треугольник A'B'C'. Покажем, что весь данный многоугольник содержится целиком внутри треугольника A'B'C'. Действительно, предположим противное – некоторая вершина X многоугольника лежит вне треугольника A'B'C'. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих трёх условий:
    1) точка X лежит по разные стороны с отрезком BC относительно прямой B'C',
    2) точка X лежит по разные стороны с отрезком CA относительно прямой C'A',
    3) точка X лежит по разные стороны с отрезком AB относительно прямой A'B'.
  Пусть имеет место первая возможность. Тогда  S_XBC > S_ABC  (основание BC общее, а высота, проведённая к BC, у треугольника XBC больше), что противоречит нашему предположению.
  Аналогично разбираются оставшиеся две возможности.
  Рассмотрим гомотетию с центром в центре тяжести треугольника ABC и коэффициентом – ½. При выполнении этой гомотетии треугольник A'B'C' перейдёт в треугольник ABC, а образ данного многоугольника окажется внутри треугольника ABС.

Источники и прецеденты использования