Условие
В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.
Решение
Первый способ. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠ABK = ∠BCK, ∠CBK = BAK, значит, треугольники AKB и BKC подобны по двум углам (рис. слева).
Пусть M и L – середины сторон AB и BC соответственно. Тогда KM и KL – медианы подобных треугольников AKB и BKC, проведённые к соответствующим сторонам. Поэтому KLB = KMA, ∠BMK = 180° – ∠KMA = 180° – ∠KLB. Значит, точки B, L, K и M лежат на одной окружности.
С другой стороны, поскольку серединные перпендикуляры к сторонам
AB и BC треугольника ABC проходят через центр O описанной окружности, то точки M и L лежат на окружности с диаметром BO, а так как через точки B, M и L проходит единственная окружность, то точка K лежит на окружности с диаметром BO. Следовательно, ∠BKO = 90°.
Второй способ. Пусть O1 – центр окружности, проходящей через вершины A и B и касающейся прямой BC, а O2 – центр окружности, проходящей через вершины B и C и касающейся прямой AB (рис. справа).
Поскольку OO1 ⊥ AB и O2B ⊥ AB, то OO1 || O2B, OO2 || O1B . Значит, OO2BO1 – параллелограмм. Его диагонали делятся точкой пересечения P пополам.
Пусть линия центров O1O2 пересекает общую хорду BK в точке Q. Тогда Q – середина BK и PQ ⊥ BK, а PQ – средняя линия треугольника BKO. Поэтому
KO || PQ ⊥ BK.
