В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω_a касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении

а) ( + )¹⁰⁰;

б) ( + )³⁰⁰?

Решение

а) Чтобы число      было рациональным, k должно быть кратно 4. Таких целых чисел 26: 0, 4, 8, …, 96, 100.

б) Чтобы число      было рациональным, k должно быть кратно 3, а  300 – k  должно быть чётным. Значит, k кратно 6. Среди целых чисел от 0 до 300 таких  300 : 6 + 1 = 51.

Ответ

а) 26;  б) 51.

Источники и прецеденты использования