|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ωa касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.
Решение
Пусть Ia – центр окружности ωa. Треугольник AKM – равнобедренный, поэтому середина P его основания KM лежит на биссектрисе угла A, а значит, на отрезке IIa. С другой стороны, P – это точка пересечения отрезка, соединяющего центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, с описанной окружностью этого треугольника, значит, BP = IP = IaP (см. задачи 52395 и 53119).
Пусть R – радиус описанной окружности треугольника ABC, ra – радиус окружности ωa, ∠A = 2α. Из прямоугольного треугольника KPIa находим, что PIa = KIa sin∠PKIa = ra sin α.
С другой стороны, PIa = PB = 2R sin α, значит, ra = 2R.
Заметим, что OP || IaN (оба этих отрезка перпендикулярны BC) и OP = R = ½ ra = ½ IaN. Следовательно, OP – средняя линия треугольника NIIa, то есть точки O, N и I лежат на одной прямой.
