ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 109787  (#03.5.9.1)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108125  (#03.5.9.2)

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Окружности S1 и S2 с центрам O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S1 и S2 в точке A пересекают отрезки BO2 и BO1 в точках K и L соответственно. Докажите, что  KL || O1O2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109789  (#03.5.9.3)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109790  (#03.5.9.4)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Последовательность {an} строится следующим образом:  a1 = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109791  (#03.5.9.5)

Темы:   [ Обход графов ]
[ Раскраски ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .