ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109790
Темы:    [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последовательность {an} строится следующим образом:  a1 = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.


Решение

  Пусть в записи числа 1/n есть предпериод A из m цифр и период B из k цифр. Тогда  10m(10k – 1)  кратно n. Наоборот, пусть m, k – наименьшие числа, при которых  10m(10k – 1)  кратно n, то есть m есть максимальная из степеней двойки и пятерки, на которые делится n, а k – минимальное число, для которого  10k – 1  кратно     и пусть  C = 1/n 10m(10k – 1).  Положим     Тогда  B < 10k – 1,  A < 10m,  и дробь 1/n имеет предпериод A (с нулями, дополняющими его до m цифр) и период B (аналогично). Из условия следует, что  p ≠ 2,  p ≠ 5  и p не может быть числом, в десятичной записи которого присутствуют только нули и единицы (сумма цифр такого числа должна равняться 300, и, значит, оно не простое).
  Докажем, что последовательность {an} – периодическая с периодом 2. Период дроби 1/p равен  1/p (10n – 1),  где n – наименьшее натуральное число, для которого  10n – 1  кратно p. Таким образом,  a2 = 2/p (10n – 1).  Поскольку a2 чётно, но не делится ни на 22, ни на 5, период обыкновенной дроби  1/a2  будет равен     где k – наименьшее натуральное число, для которого  10k+1 – 10  кратно a2 (в обозначениях первого абзаца  A = 0,  так как  a2 > 10  (a2 кратно 18), поэтому  B = C).  Следовательно, k является наименьшим натуральным числом, для которого  (10k – 1)p  кратно  10n – 1.
  Пусть  n = kq + r,  где  0 < r < k.  Тогда  10kq(10r – 1)p = (10n – 1)p – (10kq – 1)p  кратно  10n – 1.  Стало быть,  (10r – 1)p  кратно  10n – 1,  что невозможно ввиду выбора k. Поэтому  n = km  и  (10k – 1)p  кратно  10mk – 1.  Следовательно, p кратно  10k(m–1) + 10k(m–2) + ... + 10k + 1.  Но p – простое число, следовательно, если  m ≠ 1,  то  p = 10k(m–1) + 10k(m–2) + ... + 10k + 1,  что невозможно, ибо p не может быть числом из нулей и единиц.
  Итак,  k = n,  а значит,     Осталось заметить, что периоды чисел 1/p и  1/10p  равны.


Ответ

a2003 = 10p.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 03.5.9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .