ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109790
УсловиеПоследовательность {an} строится следующим образом: a1 = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003. Решение Пусть в записи числа 1/n есть предпериод A из m цифр и период B из k цифр. Тогда 10m(10k – 1) кратно n. Наоборот, пусть m, k – наименьшие числа, при которых 10m(10k – 1) кратно n, то есть m есть максимальная из степеней двойки и пятерки, на которые делится n, а k – минимальное число, для которого
10k – 1 кратно и пусть C = 1/n 10m(10k – 1). Положим Тогда B < 10k – 1, A < 10m, и дробь 1/n имеет предпериод A (с нулями, дополняющими его до m цифр) и период B (аналогично). Из условия следует, что p ≠ 2, p ≠ 5 и p не может быть числом, в десятичной записи которого присутствуют только нули и единицы (сумма цифр такого числа должна равняться 300, и, значит, оно не простое). Ответa2003 = 10p. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|