ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53119
Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M. Пусть Q - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что треугольники MBQ и MCQ - равнобедренные.


Подсказка

BQ - биссектриса угла ABC.


Решение

Обозначим $ \angle$A = $ \alpha$,$ \angle$B = $ \beta$. Тогда

$\displaystyle \angle$BQM = $\displaystyle \angle$ABQ + $\displaystyle \angle$BAQ = $\displaystyle \alpha$/2 + $\displaystyle \beta$/2,

$\displaystyle \angle$QBM = $\displaystyle \angle$QBD + $\displaystyle \angle$DBM = $\displaystyle \angle$QBD + $\displaystyle \angle$MAC = $\displaystyle \beta$/2 + $\displaystyle \alpha$/2.

Следовательно, $ \angle$BQM = $ \angle$QBM.

Аналогично $ \angle$MCQ = $ \angle$MQC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 788

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .