Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN к площади треугольника MPB равно 15)/(5).

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  n + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.

Решение

  Ясно, что  n = 1  удовлетворяет условию. Также ему удовлетворяют все нечётные простые числа: делители такого числа p, увеличенные на 1, есть 2 и
p + 1;  оба они делят  p + 1. 
  С другой стороны, у любого числа n, удовлетворяющего условию, есть делитель 1; значит,  n + 1  делится на  1 + 1,  то есть n нечётно.
  Предположим, что какое-то составное  n = ab,  где  a ≥ b ≥ 2,  удовлетворяет условию. Тогда число  n + 1  делится на  a + 1  и число  n + b = (a + 1)b  также делится на  a + 1.  Значит, и число  b – 1 = (n + b) – (n + 1)  также делится на  a + 1.  Так как  b – 1 > 0,  получаем, что  b – 1 ≥ a + 1.  Но это противоречит неравенству  b ≤ a.

Ответ

Единица и все нечётные простые числа.

Источники и прецеденты использования