Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

Решение

Обозначим  γ = ∠ACB.  Пусть I₁, I₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABH, CBH. Из подобия этих треугольников следует, что
I₁H₁ : I₂H₂ = AB : BC = tg γ.  Так как отрезки I₁H₁, I₂H₂ перпендикулярны соответственно AB и BC, то проекции этих отрезков на AC равны  I₁H₁ cos γ  и  I₂H₂ sin γ,  то есть равны друг другу. Тогда, поскольку O – середина H₁H₂, то проекция O на AC совпадает с серединой B₁B₂, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования