На бумаге "в клеточку" нарисован выпуклый многоугольник M, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идёт по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключённых внутри M, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри M.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Преобразования плоскости (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.

Решение

Пусть $M$ – центр тяжести треугольника $ABC$, $P$ – точка пересечения касательных. Так как $AP$ – симедиана треугольника, прямые $AP$ и $AM$ являются изогоналями относительно угла $BAC$ (см. рис.). По теореме об изогоналях прямые $AK$ и $AL$ тоже являются изогоналями.

Источники и прецеденты использования