Версия для печати
Убрать все задачи

---

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

   Решение

---

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число c_k, что   ≥ c_k  для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение c_k.

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

  По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции "Таганская" до станции "Киевская", а вечером – обратно (см. схему).

  Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через "Белорусскую") поезд идёт от "Киевской" до "Таганской" или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через "Павелецкую") – 11 минут.   По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:
  - поезд, идущий против часовой стрелки, приходит на "Киевскую" в среднем через 1 минуту 15 секунд после того, как на неё приходит поезд, идущий по часовой стрелке. То же верно и для "Таганской".
  - на поездку из дома на работу Учёный в среднем тратит на 1 минуту меньше, чем на поездку с работы домой.
  Найдите математическое ожидание интервала между поездами, идущими в одном направлении.

Решение

  Пусть p – вероятность того, что Учёный садится в поезд, идущий по часовой стрелке. Тогда математическое ожидание времени в пути от "Таганской" до "Киевской" равно  11p + 17(1 – p) = 17 – 6p.
  На обратном пути "Киевская" – "Таганская" математическое ожидание времени в пути равно  17p + 11(1 – p) = 11 + 6p.
  По условию  (11 + 6p) – (17 – 6p) = 1,  откуда  p = ⁷/₁₂.  Обозначим интервал между поездами T. Тогда  T(1 – p) = Y,  где Y – время между приходом поезда "по часовой" и приходом поезда "против часовой" на любимые станции. Значит,  ET = ^EY/_1–p = ⁵/₄·¹²/₅ = 3.

Ответ

3 минуты.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования