Задача 110110
|
|
 |
Условие
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?Решение
Первое решение. Из последней цифры можно получить 2 только, прибавив к двум последним цифрам a раз по единице и вычтя из них a+2 раза по единице. Эти операции уменьшают цифру, стоящую на третьем месте, на 2. Аналогично, операции, превращающие первую цифру в 2, увеличат вторую цифру на 1.Ясно, что порядок операций можно менять, если рассматривать четырехзначное число как четверку целых чисел (возможно отрицательных, либо превосходящих 9). Выполнив вначале операции, заменяющие 4 на 2 и 1 на 2, мы получим число 2312, которое операциями над двумя средними цифрами нельзя превратить в 2002.
Второе решение. Пусть на доске написано число
Тогда рассматриваемые операции не изменяют число M=(d+b)-(a+c) , так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число – из второй.
Для числа 1234 M1=(4+2) – (1+3)=2 , для числа 2002 M2=(2+0) – (2+0)=0 .
Поэтому требуемое невозможно.
Третье решение. Заметим, что описанные операции не меняют остаток от деления числа на 11 (мы прибавляем либо вычитаем одно из чисел 1100, 110, 11). Но числа 1234 и 2002 имеют разные остатки от деления на 11.
