Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом  и полупериметром p наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = 8ln (x+8)-8x+5 на отрезке [-7,5;0] .

   Решение

Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

Решение

Пусть $T'$ – точка пересечения $\omega_1$ с лучом $AC$. При гомотетии с центром $T'$, переводящей $C$ в $A$, лучи $CB$, $CD$ переходят в лучи $AD$, $AB$ соответственно. Поэтому окружность $\omega_1$ переходит в окружность $\omega'$, касающуюся этих лучей и $\omega_1$ в точке $T'$. Следовательно, $\omega'$ совпадает с $\omega_2$, а $T'$ – с $T$.

Источники и прецеденты использования