Информация о задаче

Задача 58522

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть стороны самопересекающихся четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность, пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и P', Q', R', S' соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q, и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с соответственными тремя из точек P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины четырехугольников.)

Решение

Пусть для определенности P = P', Q = Q' и R = R'. Согласно задаче 31.051

$\displaystyle \lambda$ l_KLl_MN + $\displaystyle \mu$ l_KNl_ML = f = $\displaystyle \lambda{^\prime}$ l_K'L'l_M'N' + $\displaystyle \mu{^\prime}$ l_K'N'l_M'L'.

Рассмотрев ограничение этого равенства на прямую AB, получим равенство вида

$\begin{multline*} \alpha (x-p)(x-r)+\beta (x-r)(x-s)= \\ =\alpha '(x-p)(x-r)+\beta '(x-q)(x-s'). \tag{1} \end{multline*}$

При этом требуется доказать, что s = s'.
Равенство (1) можно преобразовать к виду

$\displaystyle \alpha{^\prime}{^\prime}$ (x - p)(x - r) = (x - q)[ $\displaystyle \beta$ (x - s) - $\displaystyle \beta{^\prime}$ (x - s')].

Точка Q может совпасть только с точкой S, поэтому Q $\ne$ P и Q $\ne$ R, а значит, (x-p)(x-r) не делится на (x - q). Поэтому $\beta$ (x - s) - $\beta{^\prime}$ (x-s') = 0. Следовательно, s = s'.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.055