Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность.
Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.
Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK·AB = BO² и
AM·AB = AO². Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.
|
|
 |
Условие
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
Решение
Покажем как записать натуральные числа в бесконечную последовательность, где таких "простых сумм" нет.
Возьмём a1 = 1, a2 = 3. Пусть конечная последовательность a1, a2, ..., an (n > 1) без "простых сумм" уже построена, и m – наименьшее натуральное число, которое не является ее членом. Положим S = a1 + a2 + ... + an + m, an+1 = S!, an+2 = m. Полученная последовательность a1, ..., an+2 также не содержит "простых сумм". Действительно, любая сумма, содержащая слагаемое an+1, равна S! + k, где 1 < k ≤ S, и не является простым числом, поскольку делится на k.
Продолжая такое построение по индукции, мы получим бесконечную последовательность. Из построения очевидно, что каждое натуральное число попадает в эту последовательность ровно один раз.
Замечания
8 баллов
