Задача 56485

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки подобия ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что  BK·AB = BO²  и
AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

Решение

Так как  BK : BO = BO : AB  и  ∠KBO = ∠ABO,  то треугольники KOB и OAB подобны. Поэтому  ∠KOB = ∠OAB.  Аналогично  ∠AOM = ∠ABO.  Следовательно,  ∠KOM = ∠KOB + ∠BOA + ∠AOM = ∠OAB + ∠BOA + ∠ABO = 180°,  то есть точки K, O и M лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.030