Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

   Решение

Темы:    [ Многогранные углы ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Подсказка

Рассмотрите две прямые пересечения пар противоположных граней и сечение плоскостью, параллельной этим прямым.

Решение

Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S. Плоскости противоположных граней ASB и CSD пересекаются по прямой a, а граней ASD и BSD – по прямой b, проходящим через S. Через пересекающиеся прямые a и b проведём плоскость П. Любая плоскость, проведённая через произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Источники и прецеденты использования