На столе лежат три красные палочки разной длины, сумма длин которых равняется 30 см, и пять синих палочек разной длины, сумма длин которых тоже равняется 30 см. Можно ли распилить те и другие палочки так, чтобы потом можно было расположить их парами, причём в каждой паре палочки были бы одинаковой длины, но разного цвета?

   Решение

Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Найдите соотношение между

Решение

Ответ: arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = . Пусть arcsin cos arcsin x = α и arccos sin arccos x = β. Тогда 0 ≤ α, β ≤ π/2. Действительно, 0 ≤ cos arcsin x ≤ 1, поскольку -  ≤ arcsin x ≤ , и 0 ≤ sin arccos x ≤ 1, поскольку 0 ≤ arccos x ≤ π. Далее, sinα = cos arcsin x, поэтому arcsin x = ± - α и sin± - α = ±cos α; cos β = sin arccos x, поэтому arccos x =  β и x = cos β = ±sin β. Из того, что cos α = sin β (= ±x), следует, что α + β = .

Источники и прецеденты использования