На шахматной доске 8×8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через рёбра, так, что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Решение

Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Достаточно доказать, что имеется лишь конечное число точек P, расстояния от которых до A, B и C -- целые числа. Пусть k — наибольшее из чисел AB и BC. Тогда | PA - PB|ABk. Геометрическим местом точек P, для которых | PA - PB| = d, является гипербола с фокусами A и B. Так как 0dk, точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами A и B (одна из этих гипербол вырождается в прямую). Аналогично точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами B и C. Поскольку две гиперболы имеют не более четырёх общих точек (задача 31.074), а гиперболы с общими фокусами вообще не имеют общих точек, то всего имеется не более 4(k + 1)² точек пересечения гипербол.

Источники и прецеденты использования