ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58541
Тема:    [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Решение

Пусть ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey = f — уравнение одной коники, а $ \left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$$ {\frac{P(t)}{A(t)}}$,$ {\frac{Q(t)}{A(t)}}$$ \left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$ — рациональная параметризация второй коники. Тогда точки их пересечения соответствуют корням уравнения

aP2 + 2bPQ + cQ2 + 2dPA + 2eQA - fA2 = 0.

Согласно задаче 31.073 степень этого уравнения не превосходит 4. (Вообще говоря, мы могли бы получить уравнение вида g = 0, где g — некоторое число. Но это соответствует либо случаю двух совпадающих коник, либо случаю непересекающихся коник.) Остается заметить, что уравнение, степень которого не превосходит 4, имеет не более 4 корней.
Замечание. Если речь идет не о кониках, а о произвольных кривых второго порядка, то несовпадающие вырожденные кривые второго порядка могут иметь общую прямую.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 31
Название Эллипс, парабола, гипербола
Тема Неопределено
параграф
Номер 7
Название Рациональная параметризация
Тема Кривые второго порядка
задача
Номер 31.074

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .