В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

Решение

Пусть  x₁, ..., x_n  – суммы чисел в строках,  y₁, ..., y_m  – суммы чисел в столбцах. На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число x_iy_j. Поэтому сумма чисел в i-й строке равна  x_iy₁ + x_iy₂ + ... + x_iy_m.  С другой стороны, эта сумма равна x_i. Таким образом,  x_i = x_i(y₁ + y₂ + ... + y_m).  Сумма  y₁ + y₂ + ... + y_m  – это как раз сумма всех чисел в таблице. Если она не равна 1, то  x_i = 0.  Аналогично доказывается, что в таком случае все числа  x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m  равны 0. Но тогда и все числа x_iy_j равны 0.

Источники и прецеденты использования