Задача 57396

Темы:    [ Ломаные ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

Решение

Пусть деревья высотой  a₁ > a₂ > ... > a_n  растут в точках A₁, ..., A_n. Тогда по условию  A₁A₂ ≤ a₁ – a₂,  ...,  A_n–1A_n ≤ a_n–1 – a_n.  Следовательно, длина ломаной A₁A₂...A_n не превосходит   (a₁ – a₂) + (a₂ – a₃) + ... + (a_n–1 – a_n) = a₁ – a_n < 100 м.  Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит  200 м (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	35
Год	1972
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	3
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Геометрические неравенства (прочее)
задача
Номер	09.089