Докажите, что многочлен  x¹² – x⁹ + x⁴ – x + 1  при всех значениях x положителен.

   Решение

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Решение

  Пусть  x = ctg α₁  и  y = ctg β₁.  Тогда  x + y > 0  (так как  α₁ + β₁  < π  и     Поэтому     При фиксированном x это выражение минимально при таком y, что     то есть  
  Аналогичные рассуждения показывают, что если  a : b : c = sin α₁ : sin β₁ : sin γ₁,  то рассматриваемое выражение минимально. В этом случае треугольники подобны и  a² ctg α + b² ctg β + c² ctg γ = 4S  (см. задачу 57627, б)).

Источники и прецеденты использования