Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Решение
|
|
 |
Условие
Про действительные числа a, b, c известно, что (a + b + c)c < 0. Докажите, что b² – 4ac > 0.
Подсказка
Рассмотрите квадратный трёхчлен f(x) = x² + bx + ac.
Решение
Первый способ. Рассмотрим квадратный трёхчлен f(x) = x² + bx + ac. Заметим, что f(c) = c² + bc + ac = (a + b + c)c < 0. Так как коэффициент при x² положителен, то дискриминант данного квадратного трёхчлена положителен (иначе бы трёхчлен принимал бы только неотрицательные значения).
Второй способ. Если a = 0, то b² – 4ac = b² > 0 (если b = 0, то 0 > (a + b + c)c = c², что невозможно).
Если a ≠ 0, рассмотрим квадратный трёхчлен g(x) = ax² + bx + c. На концах отрезка [0, 1] он принимает значения разных знаков, так как
g(1)g(0) = (a + b + c)c < 0. Значит, его дискриминант положителен.
