Информация о задаче

Задача 56804

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Решение

Пусть r₁,..., r_n — радиусы вписанных окружностей полученных треугольников, P₁,..., P_n — их периметры, a S₁,..., S_n — площади. Площадь и периметр исходного многоугольника обозначим через S и P соответственно.
Ясно, что P_i < P (см. задачу 9.27, б)). Поэтому

r₁ + ... + r_n = 2 $\displaystyle {\frac{S_1}{P_1}}$ + ... + 2 $\displaystyle {\frac{S_n}{P_n}}$ > 2 $\displaystyle {\frac{S_1}{P}}$ + ... + 2 $\displaystyle {\frac{S_n}{P}}$ = 2 $\displaystyle {\frac{S}{P}}$ = r.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.053


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М126