На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

   Решение

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем a + b + c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.

Решение

Предположим, что существует аффинное преобразование, переводящее векторы a, b, c в векторы a', b', c' равной длины. Из равенства a' + b' + c' = 0 следует, что из отрезков длины ||, ||, || можно составить треугольник.
Предположим теперь, что из отрезков длины ||, ||, || можно составить треугольник. Тогда a' + b' + c' = 0 для некоторых векторов a', b', c' единичной длины. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее векторы a и b в a' и b'. Из равенств a + b + c = 0 и a' + b' + c' = 0 следует, что рассматриваемое аффинное преобразование переводит вектор c в c' (предполагается, что 0).

Источники и прецеденты использования