Версия для печати
Убрать все задачи

---

По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Известно, что сумма каждой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число A, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превышает A.

   Решение

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)

Решение

  Рассмотрим на доске клетчатый квадрат со стороной 105, который назовём большим. Разобьём его на 25 квадратов 21×21, которые назовём малыми.
  Занумерованная клетка, находящаяся на расстоянии менее 10 от центральной клетки некоторого малого квадрата, находится в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдётся хотя бы 25 занумерованных клеток. Наименьшее из чисел в них отличается от наибольшего более, чем на 23. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 150, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удалёнными клетками которого равно  

Источники и прецеденты использования