Дано 10 натуральных чисел:  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀.  Доказать, что их наименьшее общее кратное не меньше 10a₁.

   Решение

Тема:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD и  A₁B₁C₁D₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если  A > A₁, то  B < B₁,C > C₁,D < D₁.

Решение

Если мы фиксируем две стороны треугольника, то чем больше будет угол между ними, тем больше будет третья сторона. Поэтому из неравенства  A > A₁ следует, что BD > B₁D₁, т. е.  C > C₁. Предположим теперь, что  B B₁. Тогда  AC A₁C₁, т. е.  D > D₁. Поэтому  360^o = A + B + C + D > A₁ + B₁ + C₁ + D₁ = 360^o. Получено противоречие; следовательно,  B < B₁ и  D < D₁.

Источники и прецеденты использования