Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Решение

а) Пусть M — точка пересечения прямой AI с описанной окружностью. Проведя через точку I диаметр, получим  AI ^. IM = (R + d )(R - d )= R² - d². Так как IM = CM (задача 2.4, а)), то  R² - d² = AI ^. CM. Остается заметить, что  AI = r/sin(A/2) и  CM = 2R sin(A/2).
б) Пусть M — точка пересечения прямой AI_a с описанной окружностью. Тогда  AI_a ^. I_aM = d_a² - R². Так как I_aM = CM (задача 2.4, а)), то  d_a² - R² = AI_a ^. CM. Остается заметить, что  AI_a = r_a/sin(A/2) и  CM = 2R sin(A/2).

Источники и прецеденты использования