Задача 56746

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.

Решение

Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = \varphi.$ Тогда $$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} =$$ $$= \frac12 AO \cdot OB \sin \varphi + \frac12 BO \cdot OC \sin (180^\circ -\varphi) + \frac12 CO \cdot OD \sin \varphi + \frac12 DO \cdot OA \sin (180^\circ -\varphi) =$$ $$= \frac12 \sin \varphi \cdot (AO \cdot OB + BO \cdot OC + CO \cdot OD + DO \cdot OA) =$$ $$= \frac12 \sin \varphi \cdot \big( (AO+CO) \cdot OB + (CO+AO) \cdot OD\big) = \frac12 \sin \varphi \cdot (AO+CO) \cdot (OB+OD) = \frac12 AC \cdot BD \cdot \sin \varphi.$$

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	0
Название	Вводные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.000.1