k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  k ≤ n  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Куб ] [ Разложение на множители ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

Решение

  Задача сводится к решению в натуральных числах, бóльших 1, уравнения  x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) = 98.
  Очевидно, второй множитель больше первого. Кроме того,  x – y  не делится на 3, поэтому  x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy ≡ 1 (mod 3).  Единственное разложение числа 98, удовлетворяющее этим условиям – это 2·49. Поэтому  x² + xy + y² = 49,  x – y = 2,  xy = 15.  Отсюда  x = 5,  y = 3.

Ответ

125.

Замечания

1. Ср. с задачей 98336.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования