Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Числовая последовательность A1, A2, ..., An, ... определена равенствами A1 = 1, A2 = – 1, An = – An–1 – 2An–2 (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число является полным квадратом.
|
|
 |
Условие
На сторонах треугольника ABC построены три подобных треугольника: YBA и ZAC – во внешнюю сторону, а XBC – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что AYXZ – параллелограмм.
Решение
Поскольку треугольники XBC и ZAC подобны, CX : CZ = CB : CA. Кроме того, ∠XCZ = ∠BCA – ∠BCX + ∠ACZ = ∠BCA. Поэтому треугольник XCZ подобен треугольнику BCA, откуда CX : XZ = CB : BA. А из подобия треугольников XBC и YBA следует, что CX : YA = CB : BA. Таким образом,
CX : YA = CB : BA = CX : XZ, откуда YA = XZ. Аналогично доказывается, что YX = AZ. Итак, у четырёхугольника YXZA противоположные стороны попарно равны, то есть он – параллелограмм.
Замечания
4 балла
