ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60280
Темы:    [ Индукция (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числовая последовательность  A1, A2, ..., An, ...  определена равенствами   A1 = 1,   A2 = – 1,   An = – An–1 – 2An–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.


Решение 1

  Рассмотрим другую последовательность  B1, ..., Bn, ..., определенную тем же рекуррентным соотношением, но с другими начальными условиями:
B1 = 1,  B2 = 3.  Докажем по индукции соотношения:  
  База.     
  Шаг индукции.

  Итак,  


Решение 2

  Не нарушая рекуррентное соотношение, добавим к последовательности член  A0 = 0.  Рассмотрим последовательность      Заметим, что      Поскольку  C1 = 1,  отсюда следует, что  Cn = 2n–1  и  

Замечания

Решение 2 – перевод на "школьный" язык стандартного матричного подхода к подобным задачам.

Действительно, из условия следует, что     Отсюда

Сравнивая определители левой и правой части, мы видим, что    

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 1
Название Метод математической индукции
Тема Индукция
параграф
Номер 1
Название Аксиома индукции
Тема Индукция (прочее)
задача
Номер 01.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .