Три треугольника – белый, зелёный и красный – имеют общую внутреннюю точку M. Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы точка M находилась внутри или на границе треугольника, образуемого выбранными вершинами.

   Решение

Темы:    [ Итерации ] [ Многочлены (прочее) ] [ Предел функции ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

Решение

  Константа, очевидно, не удовлетворяет условию.
  Годится, например, многочлен  P(x) = x – 1.
  Заметим, что старший коэффициент многочлена P положителен (иначе,  P(x) < 0  при достаточно больших положительных х, и количество положительных значений в натуральных точках конечно). Если степень P выше первой, то и у многочлена  P(x) – x  старший коэффициент положителен, поэтому найдётся такое натуральное N, что  P(x) > x  для каждого  x ∈ N.  Пусть указанная последовательность существует. Начиная с некоторого номера члены, меньшие N, закончатся, то есть найдётся такое n, что  a_k ≥ N  при всех  k > n.  Тогда  a_n = P(a_n+1) > a_n+1,  a_n+1 = P(a_n+2) > a_n+2,  ..., то есть
a_n > a_n+1 > a_n+2 > ...  – бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Ответ

Только первую степень.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования