Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.
Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?

   Решение

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения  x² + 2ax + 2a² + 4a + 3 = 0  является наибольшей? Чему равна эта сумма? (Корни рассматриваются с учётом кратности.)

   Решение

Тема:    [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой n-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Решение

Докажем это утверждение индукцией по n. При n = 3 оно очевидно. Предположим, что утверждение доказано для всех k-угольников, где k < n, и докажем его для любого n-угольника. Любой n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника (см. задачу 22.20, а)), причем число вершин у каждого из них строго меньше n, т. е. их можно разрезать на треугольники по предположению индукции.

Источники и прецеденты использования