а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

Треугольник BPC – равнобедренный, поэтому биссектриса угла B совпадает с серединным перпендикуляром к стороне CP. Аналогично биссектриса угла A совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CQ. Но центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на пересечении упомянутых биссектрис, а центр описанной окружности треугольника PQC – на пересечении упомянутых серединных перпендикуляров.

Замечания

Баллы: Турнир городов – 3, Регата – 6.

Источники и прецеденты использования