Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

   Решение

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Решение

Воспользуемся обозначениями задачи 7.16. Докажем, что при инверсии относительно описанной окружности окружность S_a переходит в себя. Это эквивалентно тому, что описанная окружность ортогональна окружности S_a, т.е. при инверсии относительно окружности S_a описанная окружность переходит в себя. При инверсии относительно окружности S_a точка A переходит в себя, поэтому достаточно проверить, что точка B переходит в точку C, т.е. OB ^. OC = OD², где O — середина отрезка DE. Пусть для определенности b < c. Тогда OD = + = , OB = OD + DB = и OC = .

Источники и прецеденты использования